Question

已知數(shù)列{a_n}的第1項a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）請證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由a₁=1，即a_n+1=

an

1+an

逐次求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由遞推式構(gòu)造數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出

1

an

，則{a_n}的通項公式可求，從而證得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=1，且an+1=

an

1+an

(n=1，2，3，…)，
得：a2=

a1

1+a1

=

1

2

，
a3=

a2

1+a2

=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a4=

a3

1+a3

=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

．
猜想an=

1

n

(n=1，2，3，…)；
（Ⅱ）證明：∵a₁=1，且an+1=

an

1+an

(n=1，2，3，…)，
∴

1

an+1

=

1+an

an

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，
因此{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故

1

an

=1+(n-1)=n，
即an=

1

n

(n=1，2，3，…)．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．