Question

某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75，
（1）求第一次燒制后恰有一件產品合格的概率；
（2）經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為X，求隨機變量X的分布列，均值和方差．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）分別記甲、乙、丙經第一次燒制后合格為事件A₁、A₂、A₃．設E表示第一次燒制后恰好有一件合格，則P（E）=P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃），由此能求出第一次燒制后恰有一件產品合格的概率．
（2）分別記甲、乙、丙經過兩次燒制后合格為事件A、B、C，則P（A）=P（B）=P（C）=0.3，X～B（3，0.3），由此能求出隨機變量X的分布列，均值和方差．

解答： 解：（1）分別記甲、乙、丙經第一次燒制后合格為事件A₁、A₂、A₃．
設E表示第一次燒制后恰好有一件合格，則
P（E）=P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
（2）分別記甲、乙、丙經過兩次燒制后合格為事件A、B、C，
則P（A）=P（B）=P（C）=0.3，
∴P（X=0）=（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441，
P（X=2）=3×0.3²×0.7=0.189，
P（X=3）=0.3³=0.027．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∵每件工藝品經過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3，
∴X～B（3，0.3），
E（X）=np=3×0.3=0.9．D（X）=np（1-p）=3×0.3×（1-0.3）=0.63．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，是中檔題，要注意二項分布的合理運用．