Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]設(shè)在平面上取定一個極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以θ= 的射線作為y軸的正半軸，以極點為坐標(biāo)原點，長度單位不變，建立直角坐標(biāo)系，已知曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，直線l的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達式為 ，求C在此變換下得到曲線C'的方程，并求曲線C′內(nèi)接矩形的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把直線l的參數(shù)方程 （t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為 2x+y﹣2=0．

曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，即 ρ2=2，即 ρ= ．

（2）解：設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達式為 ，

曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 +Y2=2，即 + =1．

曲線C'的參數(shù)方程為 ，根據(jù)橢圓的對稱性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，

故當(dāng)α= 時，曲線的內(nèi)接矩形的面積最大為8．

【解析】（1）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，即ρ2=2，化簡可得結(jié)果．（2）先求得曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 +Y2=2，再求得曲線C'的參數(shù)方程為 ，根據(jù)橢圓的對稱性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，由此可得曲線的內(nèi)接矩形的面積最大值．