Question

【題目】已知函數f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0， ]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1

= cos2x﹣cos（2x+ ）

= cos2x+sin2x

=2sin（2x+ ）；

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）；

（Ⅱ）當x∈[0， ]時，2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）在區間[0， ]上的最大值為2，最小值為﹣ ；

且x= 時f（x）取得最大值2，x= 時f（x）取得最小值﹣

【解析】（Ⅰ）化函數f（x）為正弦型函數，根據正弦函數的單調性求出f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）求出x∈[0， ]時，sin（2x+ ）的取值范圍，

即可求出f（x）的最大、最小值．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦函數的單調性的相關知識，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數，以及對三角函數的最值的理解，了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．