Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超過x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數為X，求X的分布列與數學期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：根據頻率和為1，得

（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，

解得a=0.30；

解：月均用水量不低于3噸的頻率為

（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，

則p=0.1，抽取的人數為X，

則X的可能取值為0，1，2，3；

∴P（X=0）= 0.93=0.729，

P（X=1）= 0.10.92=0.243，

P（X=2）= 0.120.9=0.027，

P（X=3）= 0.13=0.001；

∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

（Ⅲ）數學期望為EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；

（Ⅲ）解：由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數所占的百分比為

0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，

即73%的居民月均用水量小于2.5噸；

同理，88%的居民月均用水量小于3噸；

故2.5＜x＜3，

假設月均用水量平均分布，則

x=2.5+0.5× =2.9（噸），

即85%的居民每月用水量不超過標準為2.9噸．

【解析】（Ⅰ）根據頻率和為1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）計算月均用水量不低于3噸的頻率值，由抽取的人數X的可能取值為0，1，2，3；

計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值；（Ⅲ）計算月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，

求出有85%的居民月用水量不超過的標準值．

【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．