Question

【題目】知 =（2λsinx，sinx+cosx）， =（ cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函數f（x）= 的最大值為2．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA= ，若f（A）﹣m＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 = λsin2x﹣λcos2x

=2λ（ sin2x﹣ cos2x）=2λsin（2x﹣ ），

因為f（x）的最大值為2，所以解得λ=1，則 ．

由 ，

可得： ， ，

所以函數f（x）的單調減區間為 ，k∈Z．

（2）解：由 ．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，

即b2+a2﹣c2=ab，解得 ，即 ．

因為 ，∴ ， ．

因為 恒成立，則 恒成立，即m≤﹣1．

【解析】（1）利用兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數的單調性，求函數f（x）的單調遞減區間．（2）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函數的定義域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范圍．
【考點精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定理:;;．