Question

【題目】已知點P在圓C：x2+y2=4上，而Q為P在x軸上的投影，且點N滿足 ，設動點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若A，B是曲線E上兩點，且|AB|=2，O為坐標原點，求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（xp，yp），∴ ，∵PQ⊥x軸，所以Q（xp，0），

又設N（x'，y'），由 有 代入 ．

即曲線E的方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=kx+t，

聯立 得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2﹣1）=0，故 ，

由4=|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）[（x2+x1）2﹣4x1x2]，得 ，

故原點O到直線AB的距離 ，∴ ，

令u= ，則 ，又∵u= =4﹣ ∈[1，4），當

當斜率不存在時，△AOB不存在，綜合上述可得△AOB面積的最大值為1

【解析】（1）設P（xp，yp），利用 ，結合Q（xp，0），設N（x'，y'），通過 有 代入圓的方程，得到曲線E的方程．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=kx+t，聯立 利用韋達定理以及弦長公式，表示出三角形的面積，然后求解最值，