Question

【題目】已知橢圓： 過(guò)點(diǎn)， ， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于， ，求內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），直線l的方程為，

【解析】試題分析：（1）由條件可設(shè)處圓的方程，根據(jù)直線和圓相切得到，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得到橢圓方程；（2）由，故求△面積的最大值即可，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到二次方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)線距得到，分析單調(diào)性可求出最值。

解析：

（Ⅰ）以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓的方程為，

由題意， ，所以．

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由，

根據(jù)橢圓定義， ，所以，

于是求△內(nèi)切圓面積的最大值即為求△面積的最大值．

設(shè)直線l的方程為， ， ，則

消去得，所以， ．

因?yàn)?/span>，點(diǎn)到直線的距離為，

所以△的面積為 ．

令 ，則．

∵在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值為3，

此時(shí)，直線l的方程為，

內(nèi)切圓的半徑為，所以?xún)?nèi)切圓面積的最大值為．