Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）如果當，且時， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）根據導數的運算法則,求出函數的導數,利用切線方程求出切線的斜率及切點坐標,利用函數在切點處的導數值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上,列出關于的方程組,即可求出值；(2) 由（1）知，所以，考慮函數，則，分三種情況， ， ，分別利用導數研究函數的單調性，根據單調性求出函數的最小值，排除不合題意的的范圍，篩選出符合題意的的范圍即可.

試題解析：（1），

由于直線的斜率為，且過點，

故即

解得.

（2）由（1）知，所以.

考慮函數，則.

（ⅰ）設，由知，當時， .而，故

當時， ，可得；

當時， ，可得

從而當，且時， ，即.

（ⅱ）設.由于當時， ，故，而，

故當時， ，可得，與題設矛盾.

（ⅲ）設.此時，而，故當時， ，可得，與題設矛盾.綜合得， 的取值范圍為.