Question

經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）外的一點A（-2，-4）且傾斜角為45°的直線l與拋物線分別交于M₁，M₂，如果|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線l的方程：y=x-2，代入y²=2px，因為|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，所以它們在X軸的投影也成等比數(shù)列，即可求出p的值．

解答： 解：直線l的方程：y=x-2，代入y²=2px，
可得x²-2（p+2）x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2（p+2），x₁x₂=4，
因為|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，
所以它們在X軸的投影也成等比數(shù)列，
所以：（x₁-x₂）²=|x₁-（-2）|•|x₂-（-2）|=|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|，
所以（x₁+x₂）²-4x₁x₂=|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|，
所以p（p+4）=|p+4|
而p＞0，
所以p=1．

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．