Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，證明：有且只有一個零點；

（Ⅱ）求函數的極值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析； （Ⅱ）當時，極大值為，極小值為；當時，無極值；當時，極大值為，極小值為.

【解析】

（1）求導，確定函數的單調區間，結合零點存在性定理，即可求證；

（2）求導，對分類討論，求出單調區間，進而確定是否有極值，即可求解.

（Ⅰ）當時，，定義域為，

∴，

∴在上單調遞增，∴至多有一個零點.

又，，

則，∴在上有且只有一個零點.

（Ⅱ）由題意得，，

，

當時，當時，，

當時，，當時，，

∴函數在和上單調遞增，在上單調遞減，

∴極大值為，

極小值為；

當時，，

∴函數在上單調遞增，無極值；

當時，當時，，當時，，

當時，，

∴函數在和上單調遞增，在上單調遞減，

∴極大值為，極小值為.