Question

【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元），如圖所示：

（1）現(xiàn)從去年的消費(fèi)金額超過3200元的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位消費(fèi)者，其去年的消費(fèi)者金額在的范圍內(nèi)的概率；

（2）針對這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會制，詳情如下表：

預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會申請辦理普通會員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會申請辦理銀卡會員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會申請辦理金卡會員，消費(fèi)者在申請辦理會員時(shí)，需一次性繳清相應(yīng)等級的消費(fèi)金額，該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”給予獎勵(lì)：

普通會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵(lì)500元；銀卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵(lì)600元；金卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎勵(lì)800元.

方案二：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球，若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得200元獎勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎勵(lì)金；其他情況不給予獎勵(lì). 規(guī)定每位普通會員均可參加1次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加2次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加3次摸獎游戲（每次摸獎的結(jié)果相互獨(dú)立）

請你預(yù)測哪一種返利活動方案該健身機(jī)構(gòu)的投資較少？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方案二.

【解析】

（1）由間接法可得到結(jié)果；（2）計(jì)算方案1獎勵(lì)的總金額ξ1和方案2獎勵(lì)的總金額ξ2，比較大小即可．

（1）去年的消費(fèi)金額超過3200元的消費(fèi)者12人，隨機(jī)抽取2人，消費(fèi)在的范圍內(nèi)的人數(shù)為X，可能取值為1，2；

P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1，

去年的消費(fèi)者金額在的范圍內(nèi)的概率為

（2）方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”，

則“幸運(yùn)之星”中的普通會員，銀卡會員，金卡會員的人數(shù)分別為25＝7，25＝15，25＝3，

按照方案1獎勵(lì)的總金額為ξ1＝7×500+15×600+3×800＝14900（元）；

方案2：設(shè)η表示參加一次摸獎游戲所獲得的獎勵(lì)金，則η的可能取值為0，200，300；

由摸到紅球的概率為P，

∴P（η＝0），

P（η＝200），

P（η＝300），

η的分布列為：

η	0	200	300
P

數(shù)學(xué)期望為Eη＝020030076.8（元），

按照方案2獎勵(lì)的總金額為

ξ2＝（28+2×60+3×12）×76.8＝14131.2（元），

由ξ1＞ξ2知，方案2投資較少．