Question

【題目】如圖①，一條寬為1km的兩平行河岸有村莊A和供電站C，村莊B與A、C的直線距離都是2km，BC與河岸垂直，垂足為D．現要修建電纜，從供電站C向村莊A、B供電．修建地下電纜、水下電纜的費用分別是2萬元/km、4萬元/km．

（1）已知村莊A與B原來鋪設有舊電纜，但舊電纜需要改造，改造費用是0.5萬元/km．現決定利用此段舊電纜修建供電線路，并要求水下電纜長度最短，試求該方案總施工費用的最小值；

（2）如圖②，點E在線段AD上，且鋪設電纜的線路為CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤)，試用θ表示出總施工費用y (萬元)的解析式，并求y的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得為等邊三角形.

因為，所以水下電纜的最短線路為.

過作于E，可知地下電纜的最短線路為、. ······· 3分

又，

故該方案的總費用為

（萬元） …………6分

（Ⅱ）因為

所以.·············· 7分

則， ········ 9分

令則， ···· 10分

因為，所以，

記

當，即≤時，

當，即<≤時，，

所以，從而，·········· 12分

此時，

因此施工總費用的最小值為（）萬元，其中. ··· 13分

【解析】略