Question

【題目】橢圓的離心率為, 過點(diǎn), 記橢圓的左頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn), 試求面積的最大值；

（3）過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且, 求證: 直線恒過一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）x2＋2y2＝1；（2）；（3）直線BC恒過定點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ， 求出 、 、，即可得結(jié)果；（2）設(shè)B(m，n)，C(－m，n)，則S△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|，根據(jù)點(diǎn) 在橢圓上與基本不等式可得結(jié)果；（3）AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)，

由消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，可得 的坐標(biāo)，從而得 的方程，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：

（1）由，解得

所以橢圓C的方程為x2＋2y2＝1.

（2） 解：設(shè)B(m，n)，C(－m，n)，則S△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|，

又1＝m2＋2n2≥2＝2|m|·|n|，所以|m|·|n|≤，

當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝|n|時(shí)取等號(hào)，

從而S△ABC≤，即△ABC面積的最大值為.……………… 8分

（3）證明：因?yàn)?/span>A(－1,0)，所以AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)，

由消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或

∴ 點(diǎn)，同理，有，而k1k2＝2，

∴

∴ 直線BC的方程為

即，即，

所以，得直線BC恒過定點(diǎn).