Question

【題目】已知，，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.（Ⅲ）.

【解析】試題分析：求導，算出的值，即可求出 (2)表示出，求導分類當時、當時、當時、當時的單調(diào)區(qū)間 (3)求出二階導數(shù)，討論、、時的情況，求出結(jié)果

解析：（Ⅰ）因為，

所以，得，.

（Ⅱ）由題意知，

所以 ，

當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞降，

當時，，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當時，，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當時，在上恒成立，

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞降，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增.

（Ⅲ），

因為，

令，

有，

當時，有，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則，

（i）若即時，在上單調(diào)遞增，

則恒成立；

（ii）若即時，則在存在，

此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

當時，有，則在存在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上先減后增，

又，則函數(shù)在上先減后增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.