Question

【題目】設函數（且）

（1）若函數存在零點，求實數的最小值；

（2）若函數有兩個零點分別是，且對于任意的時恒成立，求實數的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意列出不等式組，令，求出對稱軸，若在區間上有解，則解不等式即可求得k的范圍；(2)由韋達定理計算得，利用指數函數單調性解不等式，化簡得，令

，求出函數在區間上的值域從而求得m的取值范圍.

(1)由題意知有解，則

有解， ①③成立時，②顯然成立，因此

令，對稱軸為：

當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

因此若在區間上有解，

則，解得，

又，則，k得最小值為；

(2)由題意知是方程的兩根，則

，，

聯立解得 ，解得，所以在定義域內單調遞減，

由可得對任意的恒成立，

化簡得，令，，

對成立，所以在區間上單調遞減，

，所以