Question

已知函數f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）求使不等式f（x）≥

3

2

的x的取值范圍．
（3）若f（α）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，求f（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意可得函數的周期為T=

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω的值，可得函數f（x）=sin（2x+

π

6

）．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 x的范圍，可得函數的增區間．
（2）由不等式可得2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，求得x的范圍，即可求得不等式的解集．
（3）由條件可得 2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，根據f（α+

π

6

）=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]，計算求得結果．

解答： 解：（1）由題意可得函數的周期為T=

2π

ω

=2×

π

2

，∴ω=2，∴函數f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函數的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）由不等式f（x）≥

3

2

，可得2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，
求得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，
故不等式的解集為[kπ+

π

12

，kπ+

π

4

]，k∈z．
（3）若f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，
∴f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]=cos（2α+

π

6

）cos

π

6

+sin（2α+

π

6

）sin

π

6

=

2 3

3

×

3

2

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質，屬于基礎題．