Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n=-n²，數列{b_n}滿足：b₁=2，b_n+1=3b_n-t（n-1），已知a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）對任意n∈N^*都成立
（1）求t的值；
（2）設數列{a_n²+a_nb_n}的前n項的和為T_n，問是否存在互不相等的正整數m，k，r，使得m，k，r成等差數列，且T_m+1，T_k+1，T_r+1成等比數列？若存在，求出m，k，r；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用公式當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1即可求得a_n，由a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）可得數列{a_n+b_n}是等比數列，進而求得b_n，
再由b_n+1=3b_n-t（n-1），對任意n∈N^*都成立，即可求得t值；
（2）利用反證法，結合等比數列的性質及數列求和方法錯位相減法即可得出結論．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=-n²+（n-1）²=1-2n，
當n=1時，a₁=s₁=-1，滿足上式，
∴a_n=1-2n（n∈N^*）
又∵a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）對任意n∈N^*都成立，b₁=2，
∴a₁+b₁=（1-2）+2=1，
∴a_n+b_n≠0，∴

an+1+bn+1

an+bn

=3，
∴數列{a_n+b_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴a_n+b_n=3^n-1，∴b_n=3^n-1-（1-2n）=3^n-1+2n-1，
∵b_n+1=3b_n-t（n-1），
∴3ⁿ+2n+1=3（3^n-1+2n-1）-t（n-1），
∴（t-4）（n-1）=0對任意n∈N^*都成立，
∴t=4．
（2）由（1）得a_n²+a_nb_n=a_n（a_n+b_n）=（1-2n）•3^n-1，
∴T_n=-1-3×3-5×3²-7×3³-…-（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=-1×3-3×3²-5×3³-…-（2n-1）•3ⁿ，②
②-①得，
2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2×

3-3n

1-3

-（2n-1）•3ⁿ=2（1-n）•3ⁿ-2，
∴T_n=（1-n）•3ⁿ-1，
∴T_n+1=（1-n）•3ⁿ．
∴若存在互不相等的正整數m，k，r，使得m，k，r成等差數列，且T_m+1，T_k+1，T_r+1成等比數列，
則（T_k+1）²=（T_m+1）（T_r+1）即（1-k）²•3^2k=（1-m）（1-r），即k²-2k+1=mr-（m+r）+1，
∴k²=mr即（

m+r

2

）²=mr，即（m-r）²=0，∴m=r，
這與m≠r相矛盾，
∴不存在滿足條件的正整數m，k，r．

點評：本題主要考查數列通項公式及數列前n項和的求法知識，考查學生恒成立問題的轉化求解能力及運算能力，綜合性、邏輯性強，屬難題．