Question

已知x，y∈（-

1

2

，

1

2

），m∈R，m≠0，若

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，則

y

x

=

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：先將兩個方程分別整理成2m=-x³-sinx與2m=（2y）³+sin2y的形式，則x可看成直線y=2m與函數y=-x³-sinx圖象交點的橫坐標，2y可看成直線y=2m與函數y=x³+sinx圖象交點的橫坐標；且函數y=-x³-sinx的圖象與函數y=x³+sinx的圖象都關于原點對稱，且它們兩個彼此關于x軸對稱，則兩函數圖象關于y軸對稱，所以兩函數圖象與直線y=2m的交點也關于y軸對稱，據此可得它們的交點橫坐標x₁，x₂互為相反數，則原題可解．

解答： 解：由

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，可得

2m=-x3-sinx 2m=(2y)3+sin2y

，
∴x可看成直線y=2m與函數y=-x³-sinx圖象交點的橫坐標，2y可看成直線y=2m與函數y=x³+sinx圖象交點的橫坐標；
又∵函數y=-x³-sinx與函數y=x³+sinx都是奇函數，所以它們的圖象都關于原點對稱，
而這兩個函數實際上是y=f（x）與y=-f（x）間的關系，∴他兩個函數圖象關于x軸對稱，
由以上可得函數y=-x³-sinx的圖象與函數y=x³+sinx的圖象關于y軸對稱，
∴它們與直線y=2m（m≠0）的交點（介于x∈（-

1

2

，

1

2

）之間且不過原點）關于y軸對稱，
∴x+2y=0且（xy≠0）
∴

y

x

=-

1

2

．
故答案為-

1

2

點評：這是一道利用函數思想來解決方程根的問題，要先把根看成某函數圖象與x軸的交點橫坐標或看成某兩個函數圖象交點的橫坐標，再利用函數的思想結合函數的圖象性質解決問題．