Question

（文科做）已知函數(shù)f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．
（1）若a=1，設(shè)函數(shù)F(x)=

f(x)

g(x)

，求F（x）的極大值；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x），討論G（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求F（x）的極大值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，F(x)=

lnx+1

x

，定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
則F′(x)=

-lnx

x2

．…（2分）
令F'（x）=0得x=1，列表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	極大值	↘

當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值F（1）=1．…（7分）
（2）G（x）=lnx+a-ax（x＞0），∴G′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．     …（9分）
若a≤0，G'（x）＞0，G（x）在（0，+∞）上遞增；                …（11分）
若a＞0，當(dāng)x∈(0，

1

a

)時(shí)，G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時(shí)，G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減．                 …（14分）
∴當(dāng)a≤0時(shí)，G（x）的增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，G（x）的增區(qū)間為(0，

1

a

)，減區(qū)間為(

1

a

，+∞)．       …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．