Question

棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為C₁D₁的中點．
①求證：AE⊥DA₁；
②求異面直線AE與CC₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）連接AD₁，DA₁，則AD₁⊥DA₁，從而得到A₁D⊥面AED₁，由此能證明AE⊥DA₁．
（2）由AA₁∥CC₁，知異面直線AE與CC₁所成的角的平面角為∠EAA₁，由此能求出異面直線AE與CC₁所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接AD₁，DA₁，則AD₁⊥DA₁，
∵C₁D₁⊥面AA₁D₁D，
∴ED₁⊥DA₁，∴A₁D⊥面AED₁，
∴AE⊥DA₁．（6分）
（2）解：∵AA₁∥CC₁，
∴異面直線AE與CC₁所成的角的平面角為∠EAA₁，
在Rt△EA₁A中，∵AE=3，A1E=

5

，
∴sin∠EAA₁=

A1E

AE

=

5

3

，
∴異面直線AE與CC₁所成的角的正弦值為

5

3

．（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．