Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，若tanA+tanB=

2sinC

cosA

．
（1）求角B的大小；
（2）已知

a

c

+

c

a

=3
①求sinAsinC的值；
②求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式左邊利用同角三角函數間基本關系化簡，通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用誘導公式變形求出cosB的值，即可確定出B的度數；
（2）①已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則變形，再利用余弦定理化簡，將cosB的值代入得到

b2

ac

=2，利用正弦定理化簡即可求出sinAsinC的值；
②原式利用同角三角函數間的基本關系化簡，通分并利用同分母分式的加法法則計算，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將sinB與sinAsinC的值代入即可求出值．

解答： 解：（1）tanA+tanB=

sinA

cosA

+

sinB

cosB

=

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

=

sin(A+B)

cosAcosB

=

sinC

cosAcosB

=

2sinC

cosA

，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（2）∵

a

c

+

c

a

=

a2+c2

ac

=

b2+2accosB

ac

=3，
∴

b2

ac

=2，
利用正弦定理化簡得：

b2

ac

=

sin2B

sinAsinC

=

sin2 π 3

sinAsinC

=

3

4sinAsinC

=2，
①sinAsinC=

3

8

；
②∵sinAsinC=

3

8

，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+sinAcosC

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

3

2sinAsinC

=

4 3

3

．

點評：此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．