Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=3a_n-n，
（1）設b_n=a_n+1，證明數列{b_n}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：

分析：（1）由已知條件推導出an+1=

3

2

(an-1+1)，從而得到數列{b_n}為公比為

3

2

的等比數列，由此能求出bn=(

3

2

)n．
（2）由（1）得an=(

3

2

)n-1，nan=n(

3

2

)n-n，由此利用錯位相減法能求出數列{na_n}的前n項和T_n．

解答： （13分）
（1）證明：∵S_n=3a_n-n，
∴n≥2時，S_n=3a_n-n①，S_n-1=3a_n-1-（n-1），②
①-②得a_n=3a_n-3a_n-1-1，
∴an+1=

3

2

(an-1+1)
∵b_n=a_n+1，∴bn=

3

2

bn-1，
n≥2，數列{b_n}為公比為

3

2

的等比數列，
當n=1時，S₁=3a₁-1=a₁，解得a 1=

1

2

，b 1=

3

2

，
∴數列{b_n}為等比數列，且bn=(

3

2

)n．
（2）解：由（1）得an=(

3

2

)n-1，nan=n(

3

2

)n-n，
Tn=1•(

3

2

)1+2•(

3

2

)2+…+n•(

3

2

)n-(1+2+…+n)，③

3

2

Tn=1•(

3

2

)2+2•(

3

2

)3+…+n•(

3

2

)n+1-

3

2

(1+2+…+n)，④
③-④化簡得：-

1

2

Tn=-3+3(

3

2

)n+1-

3

2

n•(

3

2

)n+

1

4

n(n+1)，
∴Tn=6+3(n-2)(

3

2

)n-

1

2

n(n+1)．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．