Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-2a_n，求證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）設c_n=

an

2n

，求證數列{c_n}是等差數列；
（Ⅲ）求數列{a_n}的通項公式和前n項和公式．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用構造法求出b_n=a_n+1-2a_n，利用等比數列的定義即可證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）利用等差數列的定義即可證明數列{c_n}是等差數列；
（Ⅲ）求出數列{a_n}的通項公式，利用錯誤相減法即可求數列的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
∴n≥2時，S_n=4a_n-1+2，
兩式相減得，a₁=1，S_n+1-S_n=4a_n-4a_n-1，即a_n+1=4a_n-4a_n-1，
則a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
即數列{b_n}是公比q=2的等比數列；
（Ⅱ）當n=1時，a₁+a₂=4a₁+2，
即a₂=3a₁+2=3+2=5，
即首項b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
∵b_n=a_n+1-2a_n是公比q=2，首項為3的等比數列，
∴b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∵c_n=

an

2n

，
∴c_n-c_n-1═

an

2n

-

an-1

2n-1

=

an-2an-1

2n

=，

3•2n-2

2n

=

3

4

為常數，
即數列{c_n}是公差d=

3

4

的等差數列；
（Ⅲ）∵{c_n}是公差d=

3

4

的等差數列，首項

a1

2

=

1

2

，
則c_n=

an

2n

=

1

2

+

3

4

（n-1）=

3

4

n-

1

4

，
即數列{a_n}的通項公式a_n=

1

4

（3n-1）•2ⁿ，
設S_n=

1

4

[2•2+5•2²+…+（3n-1）•2ⁿ]，
則2S_n=

1

4

[2•2²+5•2³+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹]，
兩式相減得-S_n=

1

4

[2•2+3•2²+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹]=

1

4

[4+

12(1-2n-1)

1-2

--（3n-1）•2ⁿ⁺¹]=

1

4

[4+3•2ⁿ⁺¹-12-（3n-1）•2ⁿ⁺¹]=

1

4

[-8-（3n-4）•2ⁿ⁺¹]，
即S_n=

1

4

[8+（3n-4）•2ⁿ⁺¹]．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的判定，以及利用錯位相減法求數列的和，考查學生的計算能力．