Question

【題目】(導學號：05856308)(12分)

如圖，∠ABC＝，O為AB上一點，3OB＝3OC＝2AB，PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，OA＝1，且DA∥PO.

(Ⅰ)求證：平面PBD⊥平面COD；

(Ⅱ)求點O到平面BDC的距離．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，從而有平面PBD⊥平面COD；

（2）由計算可求BD，BC，CD的值，利用余弦定理可求cos∠BCD，利用同角三角函數基本關系式可求sin∠BCD的值，利用三角形面積公式可求S△BCD，S△BOC的值，利用體積相等VO﹣BCD=VD﹣BOC，即可得解點O到平面BDC的距離．

試題解析：

(Ⅰ)因為OA＝1，所以PO＝OB＝2，DA＝1.

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO，

從而DO＝，PD＝.在△PDO中，∵PO＝2，∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO.

又∵OC＝OB＝2，∠ABC＝，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，又PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，故CO⊥PD.∵CO∩DO＝O，

∴PD⊥平面COD.又PD平面PBD，∴平面PBD⊥平面COD.

(Ⅱ)由計算得BD＝，BC＝2，CD＝，所以cos∠BCD＝，所以sin∠BCD＝，

所以S△BCD＝×2××＝，

S△BOC＝×2×2＝2.

又VO－BCD＝VD－BOC，所以××d＝×1×2，解得d＝，即點O到平面BDC的距離為.