Question

已知函數f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）當a≤0時，求f（x）的單調區間；
（2）若不等式g（x）＜

x-m

x

有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出f′（x）=a+

1

x

，分當a≥0時，和a＜0時，討論導函數在不同區間上的符號，進而可得f（x）的單調區間；
（2）若e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，構造函數h（x）=x-e^x

x

，利用導數法求出函數的最值，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+lnx，的定義域是（0，+∞），且f′（x）=a+

1

x

（x＞0），
1°當a=0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
2°當a＜0時，由f′（x）=0，解得x=-

1

a

，
則當x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（-

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
綜上所述：當a=0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜0時，f（x）在（0，-

1

a

）上單調遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調遞減．
（2）由題意：e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，
設h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x

x

-

ex

2 x

=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因為

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且x∈（0，+∞）時e^x＞1，
所以1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，即h′（x）＜0．
故h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，存在性問題，利用導數函數的最值，是導數的綜合應用，難度中檔．