Question

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，且點（1，

3

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若△AOB的面積為

6 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出橢圓方程，由離心率公式，以及a，b，c的關系，和已知點代入方程，求出a，b即可；
（2）求出左焦點坐標，設出直線l的方程，注意斜率不存在的情況，將直線方程與橢圓方程聯立消去y，得到關于x的二次方程，運用韋達定理，再用弦長公式，求出原點到直線的距離，運用面積公式，列出方程，然后求出k²，即可得到l的方程．

解答： 解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
又e=

c

a

=

1

2

，a²-b²=c²，

1

a2

+

9 4

b2

=1，
解得，a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于F₁（-1，0），設直線l的方程為x=-1或y=k（x+1），
若l；x=-1，則AB=

2×3

2

=3，△ABO的面積為

3

2

，不成立；
若l：y=k（x+1），將其代入橢圓方程，得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴AB=

1+k2

64k4 (3+4k2)2 - 16k2-48 3+4k2

=

1+k2

•

12 1+k2

3+4k2

又O到直線l的距離為

|k|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

•

|k|

1+k2

•

12(1+k2)

3+4k2

=

6 2

7

，
解得k²=1，即k=±1，
∴直線l的方程為：y=±（x+1）．

點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，以及弦長公式，考查運算能力．