Question

已知實數a，b滿足-1≤a≤1，0≤b≤1，則函數f（x）=x³-ax²+bx無極值的概率是

 

．

Answer 1

考點：幾何概型,函數在某點取得極值的條件

專題：導數的綜合應用,概率與統計

分析：求出函數無極值的等價條件，利用積分求出陰影部分的面積，結合幾何槪型的概率公式即可得到結論．

解答： 解：函數f（x）=x³-ax²+bx的導數f′（x）=3x²-2ax+b，
若函數f（x）=x³-ax²+bx無極值，
則f′（x）=3x²-2ax+b≥0恒成立，
即△=4a²-12b≤0，即a²≤3b，
作出不等式對應的平面區域如圖；
則陰影部分的面積S=

∫

1 -1

(1-

x2

3

)dx=（x-

1

9

x³）|

1 -1

=2-

2

9

=

16

9

，
則由幾何槪型的概率公式可得函數f（x）=x³-ax²+bx無極值的概率P=

S陰影部分

S矩形

=

16 9

2×1

=

16

18

=

8

9

，
故答案為：

8

9

點評：本題主要考查幾何槪型的概率計算，利用函數無價值以及利用積分求出對應區域的面積是解決本題的關鍵，涉及的知識點較多，綜合性較強．