Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成， 的公共點(diǎn)為，其中的離心率為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與分別交于（均異于點(diǎn)），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）由上半橢圓和部分拋物公共點(diǎn)為，得，設(shè)的半焦距為，由及，解得；

（2）由（1）知，上半橢圓的方程為， ，易知，直線與軸不重合也不垂直，故可設(shè)其方程為，并代入的方程中，整理得： ，

由韋達(dá)定理得，又，得，從而求得，繼而得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后由,解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故直線的方程為.

試題解析：（1）在方程中，令，得

在方程中，令，得

所以

設(shè)的半焦距為，由及，解得

所以，

（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，

易知，直線與軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為

代入的方程中，整理得：

（*）

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

由韋達(dá)定理得

又，得，從而求得

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為

，

,即

， ，解得

經(jīng)檢驗(yàn)， 符合題意，

故直線的方程為