Question

【題目】已知函數f(x)＝.(a>0)

(1)若a＝1，證明：y＝f(x)在R上單調遞減；

(2)當a>1時，討論f(x)零點的個數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)證明：當x≥1時，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上單調遞減，f(x)≤f(1)＝0；

當x<1時，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上單調遞減，且此時f(x)>0.

所以y＝f(x)在R上單調遞減．

(2)若x≥a，則f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，

所以此時f(x)單調遞減，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，

則g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)<g(1)＝0，

即f(x)≤f(a)<0，故f(x)在[a，＋∞)上無零點．

當x<a時，f′(x)＝ex－1＋a－2，

①當a>2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此時f(x)在上有一個零點．

②當a＝2時，f(x)＝ex－1，此時f(x)在(－∞，2)上沒有零點．

③當1<a<2時，令f′(x0)＝0，解得x0＝ln(2－a)＋1<1<a，所以f(x)在(－∞，x0)上單調遞減，在(x0，a)上單調遞增．

f(x0)＝e＋(a－2)x0＝e (1－x0)>0，

所以此時f(x)沒有零點．

綜上，當1<a≤2時，f(x)沒有零點；當a>2時，f(x)有一個零點．