Question

已知經過同一點的n（n∈N^*，n≥3）個平面，任意三個平面不經過同一條直線．若這n個平面將空間分成f（n）個部分，則f（n）=（　　）

• A、

  n3+5n+6

  6

• B、

  n3+5n

  6

• C、n²-n+1
• D、n²-n+2

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規律型

分析：兩個平面把空間分成4個部分，增加一平面，與前兩個平面不過同一直線，則第三個平面與前兩個平面有兩條交線，兩條交線把第三個平面分成兩個部分，每一部分將其所在的空間一分為二，則三個平面把空間分成8個部分，即f（3）=8=3²-3+2；由此結論可得過同一點且不經過同一直線的n個平面把空間分成n²-n+2個部分．

解答： 解：∵一個平面把空間分成兩個部分，
即f（1）=1=1²-1+2；
∵兩個相交平面把空間分成四個部分，
即f（2）=4=2²-2+2；
若第三個平面和前兩相交平面經過同一點，且三個平面不過同一直線，則第三個平面與前兩個平面的交線相交，這樣能把空間分成8個部分，
即f（3）=8=3²-3+2；
…
有n個面時，再添加1個面，與其它的n個面有n條交線，n條交線將此平面分成2n個部分，
每一部分將其所在空間一分為二，
則 f（n+1）=f（n）+2n．
利用疊加法，
則 f（n）-f（1）=[2+4+6+…+2（n-1）]
=

[2+2(n-1)](n-1)

2

=n²-n
∴f（n）=n²-n+2．
故選：D

點評：本題考查了類比推理，類比推理是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，此題是基礎題．