Question

【題目】如圖，已知四面體中，，且兩兩互相垂直，點是的中心．

（1）求二面角的大小（用反三角函數表示）；

（2）過作，垂足為，求繞直線旋轉一周所形成的幾何體的體積；

（3）將繞直線旋轉一周，則在旋轉過程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據三垂線定理，取中點，連接和，所以，則即為二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的大小；

（2）按照圓錐的定義可知，繞直線旋轉一周所形成的幾何體為兩個圓錐的組合體，計算出圓錐底面半徑以及圓錐的高，即可求出體積；

（3）取中點，連接，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設出A點坐標，求出和，利用向量的夾角公式可求出，最后根據平面幾何知識即可求出的取值范圍．

（1）取中點，連接和，因為點在平面的射影在中線上，

所以，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角．在中，，，

所以，即，

所以二面角的大小為．

（2）過作，經計算得，

由此得，

所以繞直線旋轉一周所形成的幾何體的體積：

．

（3）取中點，連接，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，

設，則，，

所以，

在平面上，點的軌跡方程為，

令，則，

所以，

于是．