Question

【題目】已知點是函數的圖象上的一點，等比數列的前項和為，數列的首項為，且前項和滿足：.

（1）求數列，的通項公式；

（2）若數列的通項，求數列的前項和；

（3）若數列的前項和為，是否存在最大的整數，使得對任意的正整數n，均有總成立？若成立，求出t；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）存在最大的整數，使得對任意的正整數n，均有總成立

【解析】

（1）先求出，然后求出，利用數列為等比數列，可求得，從而可求得數列的通項公式；利用，可求得數列是一個首項為1公差為1的等差數列，從而可求得的通項公式，進而可得的通項公式；

（2）利用錯位相減法求數列的前項和;
（3）利用裂項法知，，于是可求得，可得不等式恒成立，轉化為最值求得的范圍，進而可得最大的整數．

解：（1），故，
，
，

，
又數列為等比數列，，
，又公比，
；
，
又，
；
∴數列構成一個首項為1公差為1的等差數列，
，于是；
當；
；

（2）由（1）知,

，

，

兩式相減得：

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

；
（3），

，

因為總成立，即總成立，

對任意的正整數n均成立，

又，

，得，

故存在最大的整數，使得對任意的正整數n，均有總成立．