Question

【題目】已知函數(shù)，設(shè)直線分別是曲線的兩條不同的切線；

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極小值為-4；

（i）求的值；

（ii）若直線亦與曲線相切，且三條不同的直線交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若直線，直線與曲線切于點(diǎn)B且交曲線于點(diǎn)D，直線與曲線切于點(diǎn)C且交曲線于點(diǎn)A，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求的值.

Answer 1

【答案】（1） ； ； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)和求得；又，求得和；假設(shè)切點(diǎn)和切線方程，根據(jù)極大值點(diǎn)為可確定一條切線為；將代入切線方程可得：和，從而可得的兩根為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合圖像求得的范圍；（2）根據(jù)可得，從而；將切線代入求解出，從而得到.

（1） 是奇函數(shù)，且

且，即

而當(dāng)時(shí)有極小值

經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意，則

設(shè)是曲線上的一點(diǎn)

由知：，

過(guò)點(diǎn)的切線方程為：

消去即得：

由此切線方程形式可知：過(guò)某一點(diǎn)的切線最多有三條；

又由奇函數(shù)性質(zhì)可知：點(diǎn)是極大值點(diǎn)

從而是一條切線且過(guò)點(diǎn)

再設(shè)另兩條切線的切點(diǎn)為、，其中

則可令切線，

將代入的方程中

化簡(jiǎn)可得：且

從而有：且

是方程的兩根

構(gòu)造函數(shù)：

由得：或

而，，結(jié)合圖象：

可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是：

（2）令，；由及

可得：

而，化簡(jiǎn)可得：，即

將切線的方程代入中并化簡(jiǎn)得：

，即

；同理：

則，，