Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在斜率為的直線與橢圓相交于,兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）根據橢圓定義求出，即可求出橢圓的標準方程；

（2）假設滿足條件的直線存在，與橢圓方程聯立，求出直線滿足的條件，根據已知條件在線段的垂直平分線上，結合直線的斜率公式，推導出直線不存在.

（1）因為橢圓的左右焦點分別為，，

所以.由橢圓定義可得,

解得,所以

所以橢圓的標準方程為

（2）假設存在滿足條件的直線，設直線的方程為，

由得，即

，

，

解得

設，，則,,

由于，設線段的中點為，則，

所以又，

所以，解得.

當時，不滿足.

所以不存在滿足條件的直線.