Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn= （an﹣1）（a為常數，且a≠0，a≠1）；
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn= +1，若數列{bn}為等比數列，求a的值；
（3）若數列{bn}是（2）中的等比數列，數列cn=（n﹣1）bn ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時， ，

∴a1=a， ，

當n≥2時，Sn= （an﹣1）且 ，

兩式做差化簡得：an=aan﹣1

即： ，

∴數列{an}是以a為首項，a為公比的等比數列，

∴

（2）解：bn= +1= ，

若數列{bn}為等比數列，

則 =0，即

（3）解：由（2）知 ，

∴

∴Tn=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n …①

3Tn=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1 …②

①﹣②得：﹣2Tn=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1

=

∴

【解析】（1）由公式 求得通項公式；（2）簡化數列{bn}，再由等比數列的通項公式的結構特征，得出 =0，解得參數a；（3）由（2）求出數列{cn}的通項，根據通項結構特征，采用錯位相減法求數列{cn}的前n項和．
【考點精析】掌握等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．