Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2﹣x+a，若函數g（x）=f（x）﹣x的零點恰有兩個，則實數a的取值范圍是（ ）
A.a＜0
B.a≤0
C.a≤1
D.a≤0或a=1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：因為f（x）是奇函數，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函數， 所以要使函數g（x）=f（x）﹣x的零點恰有兩個，
則只需要當x＞0時，函數g（x）=f（x）﹣x的零點恰有一個即可．
由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0，
若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1．
若△＞0，要使當x＞0時，函數g（x）只有一個零點，則g（0）=a≤0，
所以此時 ，解得a≤0．
綜上a≤0或a=1．
故選D．
【考點精析】通過靈活運用函數的零點，掌握函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點即可以解答此題．