Question

（2012•南寧模擬）已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，AC=BD=1，CD=2，異面直線AB與CD所成的角等于

arccos

6

3

（用反余弦表示）

Answer 1

分析：先根據條件求出求出|

AB

|的長度，再結合向量的數量積即可求出結論．

解答：解：∵直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，AC=BD=1，CD=2，
∴AC⊥CD，AC⊥BD，CD⊥BD．
|

AB

|²=（

AC

+

CD

+

DB

）²=

AC

²+

CD

²+

DB

2+2

AC

•

CD

+2

AC

•

DB

+2

CD

•

DB

=1²+1²+2²+0+0+0=6⇒|

AB

|=

6

．

CD

•

CD

=

CD

•（

CA

+

AB

+

BD

）
=

CD

•

CA

+

CD

•

AB

+

CD

•

BD

=

CD

•

AB

；
∴

CD

2=|

CD

|•|

AB

|cos＜

CD

，

AB

＞
⇒cos＜

CD

，

AB

＞=

| CD |

| AB |

=

2

6

=

6

3

．
∴＜

CD

，

AB

＞=arccos

6

3

；
即異面直線AB與CD所成的角等于：arccos

6

3

．
故答案為：arccos

6

3

．

點評：本題主要考查異面直線所成的角的問題，解決本題主要用到了向量的數量積．