Question

（2012•海淀區二模）已知公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{

1

Sn

}的前n項和公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數列，建立方程，求得首項與公差，可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數列{

1

Sn

}的通項，利用裂項法，可求數列的和．

解答：解：（Ⅰ）設公差為d，且d≠0，
∵S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數列
∴3a₁+3d=a₁+3d+6，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴數列{

1

Sn

}的前n項和為

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．