Question

【題目】已知橢圓C： 過點 ，左右焦點為F1（﹣c，0），F2（c，0），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點．

（I）求橢圓C方程；
（II）圓D： 與橢圓C交于A，B兩點，R為線段AB上任一點，直線F1R交橢圓C于P，Q兩點，若AB為圓D的直徑，且直線F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C過點 ，
∴ ，①
∵橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，∴a=2c，
∵a2=b2+c2 ， ∴ ，②
由①②得a2=4，b2=3，
∴橢圓C的方程為 ．…
（Ⅱ）因為AB為圓D的直徑，所以點D： 為線段AB的中點，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則， ，又 ，
所以 ，則（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故 ，
則直線AB的方程為 ，即 ，…
代入橢圓C的方程并整理得 ，則 ，
故直線F1R的斜率 ．
設F1R：y=k（x+1），由 ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
設P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），則有 ， ．
又 ， ，…
所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|= ，
因為 ，所以 ，
即|PF1||QF1|的取值范圍是 ．
【解析】（I）將點代入橢圓方程，由函數的對稱性求得a=2c，即可求得橢圓的標準方程；（II）由圓D，求得圓心坐標，利用點差法，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，求得A，B點坐標，求得F1R的斜率的取值范圍，則設F1R的方程y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達定理及 ， ，即可求得|PF1||QF1|的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．