Question

【題目】已知.

(1)若，求函數的單調區間和最小值.

(2)若有兩個極值求實數的取值范圍。

(3)若，且，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）的單調減區間為，單調增區間為，.

（2）.

（3）；理由見解析.

【解析】分析：（1）對函數求導，利用導數的正負，可得函數的單調區間，從而求得函數的最小值，得到結果；

（2）根據函數有兩個極值點，得到其導數等于零有兩個不等的正根，且在根的兩側導數的符號是相反的，分類討論求得結果；

（3）利用導數研究其大小，借助于基本不等式求得結果.

詳解：（1）∵ ∴，

∴，令，解得：，列表得：

		0
	單調減	極小值	單調增

∴的單調減區間為，單調增區間為，；

（2）∵有兩個極值點

∴在上有兩個不同的零點，且零點左右的的符號的相反．

設，則．

當時，在上恒成立，所以在上單調增，在上最多有一個零點，不合題意；

當時，由，解得：

∴時，，時，

∴在上單調增，則上單調減，

若，則，所以，在上最多有一個零點，不合題意；若，，又，

（取其他小于0的函數值也可）

設，，則在上恒成立

∴在上單調減 ∴，則時，

∵ ∴ ∴

∴在、上各有一個零點，且零點兩側的函數符號相反

∴

（3）結論：．下面證明：

由（1）知：在上單調減，在上單調增

∵ ∴，即

∴，同理

∴

∵，當且僅當時取等號，且

∴，則

∴ ∴．