Question

【題目】已知邊長為的正的頂點在平面內，頂點，在平面外的同一側，點，分別為，在平面內的投影，設，直線與平面所成的角為.若是以角為直角的直角三角形，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：由題意找出線面角，設BB′=a，CC′=b，可得ab=2，然后由a的變化得到A′B′的變化范圍，從而求得tanφ的范圍．

詳解：如圖，

由CC′⊥α，A′B′α，得A′B′⊥CC′，

又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，

∴A′B′⊥面A′C′C，則φ=∠B′CA′，

設BB′=a，CC′=b，則A′B′2=4﹣a2，A′C′2=4﹣b2，

設B′C′=c，

則有，整理得：ab=2．

∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，

tanφ=，

在三角形BB′A′中，∵斜邊A′B為定值2，

∴當a最大為時，A′B′取最小值，tanφ的最小值為．

當a減小時，tanφ增大，

若a≤1，則b≥2，在Rt△A′CC′中出現直角邊大于等于斜邊，矛盾，

∴a＞1，此時A′B′＜，即tanφ．

∴tanφ的范圍為．即的最小值為

故答案為：．