Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D分別是半圓AB的三等分點(diǎn)，AB＝4，點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，沿弧ABC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，T為△PAC的內(nèi)心．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使BT最短時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_____

Answer 1

【答案】π

【解析】

連接OC，OD，AD，CD，BD，TA，TC．證明∠ATC=120°，推出點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中弧AOC，設(shè)BD交弧AOC于T′，此時(shí)BT′的長(zhǎng)最小，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：連接OC，OD，AD，CD，BD，TA，TC．

∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D分別是半圓AB的三等分點(diǎn)，

∴∠AOD＝∠DOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，∠APC＝∠AOC＝60°，

∵T為△PAC的內(nèi)心，

∴∠ATC＝120°，

∴點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中弧AOC，

設(shè)BD交弧AOC于T′，此時(shí)BT′的長(zhǎng)最小，

點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為＝π，

故答案為π