Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦（不是直徑），OD⊥AC垂足為G交⊙O于D，E為⊙O上一點（異于A、B），連接ED交AC于點F，過點E的直線交BA、CA的延長線分別于點P、M，且ME＝MF．

（1）求證：PE是⊙O的切線．

（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的長．

（3）若PE＝6，sin∠P＝，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）連接OE，根據余角的性質和等腰三角形的性質得到∠D＝∠OED，求得OE⊥PE，于是得到結論；

（2）根據垂徑定理得到，求得∠FAD＝∠AED，根據相似三角形的性質得到結論；

（3）設OE＝x，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OE，

∵OD⊥AC，

∴∠DGF＝90°，

∴∠D+∠DFG＝∠D+∠AFE＝90°，

∴∠DFG＝∠AFE，

∵ME＝MF，

∴∠MEF＝∠MFE，

∵OE＝OD，

∴∠D＝∠OED，

∴∠OED+∠MEF＝90°，

∴OE⊥PE，

∴PE是⊙O的切線；

（2）∵OD⊥AC，

∴，

∴∠FAD＝∠AED，

∵∠ADF＝∠EDA，

∴△DFA～△DAE，

∴，

∴AD2＝DFDE＝2×10＝20，

∴AD＝2；

（3）解：設OE＝x，

∵sin∠P＝，

∴OP＝3x，

∴x2+（6）2＝（3x）2，

解得：x＝3，

過E作EH垂直AB于H，

sin∠P＝，

∴EH＝2，

∵OH2+EH2＝OE2，

∴OH＝1，∴AH＝2，

∵AE2＝HE2+AH2，

∴AE＝2．