Question

【題目】如圖，矩形ABCD 中，AD=4cm，AB=6cm，動點 E從 B向A運動，速度為每秒2cm；同時，動點F從 C向B運動，速度為每秒3cm；任意一點到達終點后，兩點都停止運動。連接CE、DF交于點P，連接BP，

（1）求證：△EBC ∽ △FCD

（2）BP最小值是多少？此時點F運動了多少秒？

（3）在該運動過程中， tan∠PAD的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BP最小值是2，此時點F運動了1秒；（3）最大值為

【解析】

（1）根據點E、F的運動速度可得，易證△EBC ∽ △FCD；

（2）由（1）可得∠DPC=90°，推出點P落在以CD為直徑的圓弧上，當點B、P、G共線時，BP取最小值，此時可求出BP；作GH∥BC，利用相似三角形△BFP∽△GHP,可求出t.

（3）在運動過程中，∠PAD的角度逐漸變大，所以當F運動到B點時，tan∠PAD最大，過點P作MN∥AB，由△BPC∽△CPD，△BNP∽△DMP和△BNP∽△BCD，利用對應邊成比例可求出此時PM、BN的長度，易得tan∠PAD.

解：（1）設運動時間為t，則BE=2t，CF=3t，

∴，

又∵∠EBC=∠FCD=90°，

∴△EBC∽△FCD；

（2）∵△EBC∽△FCD，

∴∠ECB=∠FDC，

∵∠FDC+∠DFC=90°，

∴∠ECB+∠DFC=90°，

∴∠FPC=90°，即∠DPC=90°，

故點P落在以CD為直徑的圓弧上，如圖1，

令CD中點為G，運動時間為t，

∴當點B、P、G共線時，BP取最小值，

∴CG=，

∴BG=，

∴BP=BG-GP=5-3=2，

作GH∥BC，

則△BFP∽△GHP,GH=，BF=4-3t，

∴，即，

解得：t=1；

（3）根據題意可知，在運動過程中，∠PAD的角度逐漸變大，

∴當F運動到B點時，tan∠PAD最大，

如圖2，過點P作MN∥AB，

由∠BPC=90°易證△BPC∽△CPD，

∴，

設BP=2a，則PC=3a，PD=，

∵AD∥BC，

∴△BNP∽△DMP，

∴，

∴PM=，

由△BNP∽△BCD，可得，

∴BN=，

∴tan∠PAD=.