Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形BCD中，動(dòng)點(diǎn)F、E分別以相同的速度從D、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），過(guò)點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn)，PN∥BC交CD于N點(diǎn)，連接MN，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論：①△ABE≌△BCF；②AE⊥BF；③CF2＝PEBF；④線段MN的最小值為﹣1．其中正確的結(jié)論有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由正方形的性質(zhì)及條件可判斷出①△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，再根據(jù)∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判斷②，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合CF=BE可判斷③；然后根據(jù)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°，可得點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，最后在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理，求出CG的長(zhǎng)度，再求出PG的長(zhǎng)度，即可求出線段CP的最小值，可判斷④．

解：如圖，

∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，故②正確；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴，

∴CFBE＝PEBF，

∵CF＝BE，

∴CF2＝PEBF，故③正確；

∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝1，

∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，

即線段CP的最小值為﹣1，故④正確；

故答案為：①②③④．