Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．

（1）在“平行四邊形、矩形、菱形，正方形”中， 一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；

（2）若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點，當對角線AC、BD還要滿足 時，四邊形MNPQ是正方形；

（3）如圖2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D為平面內一點．若四邊形ABCD是等角線四邊形，且AD＝BD，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）矩形和正方形；（2）AC⊥BD；（3）3+2．

【解析】

（1）只有矩形和正方形的對角線相等，所以矩形和正方形是等角線四邊形；

（2）當AC⊥BD時，四邊形MNPQ是正方形，首先證明四邊形MNPQ是菱形，再證明有一個角是直角即可；

（3）如圖2中，作DE⊥AB于E．根據S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC計算，求出相關線段即可.

（1）在“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”中，

∵矩形和正方形的對角線相等，

∴矩形和正方形一定是等角線四邊形，

故答案為矩形和正方形．

（2）當AC⊥BD時，四邊形MNPQ是正方形．

理由：如圖中，

∵M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點，

∴PQ=MN=AC，PN=QM=BD，PQ∥AC，MQ∥BD，

∵AC=BD，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，

∴∠3=90°，

∴四邊形NMPQ是正方形．

故答案為AC⊥BD．

（3）如圖2中，作DE⊥AB于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵AD=BD，DE⊥AB，

∴AE=BE=2，

∵四邊形ABCD是等角線四邊形，

∴BD=AC=AD=5，

在Rt△BDE中，DE==，

∴S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC

=AEDE+（DE+BC）BE

=×2×+（+3）×2

=3+2．

故答案為3+2．