Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△DBE．

（1）當旋轉成如圖①，點E在線段CA的延長線上時，則∠CED的度數是　 　度；

（2）當旋轉成如圖②，連接AD、CE，若△ABD的面積為4，求△CBE的面積；

（3）點M為線段AB的中點，點P是線段AC上一動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點P′，連接MP′，如圖③，直接寫出線段MP′長度的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）S△CBE=；（3）線段MP'的最大值為7，最小值為﹣2．

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的性質可知：∠DEC=45°，再由等邊對等角得∠BEC=45°，則∠CED=90°；

（2）由△ABC≌△DBE得出BA=BD，BC=BE，進而得出，證明△ABD∽△CBE，根據面積比等于相似比的平方求出△CBE的面積；

（3）作輔助線，當點P在F處時BP最小，則BG最小，MP'最小；當點P在點C處時，BP最大，則BH最大，MP'最大，代入計算即可得出結論．

試題解析：解：（1）由旋轉得：∠DEB=∠ACB=45°，BC=BE，∴∠ACB=∠BEC=45°，∴∠CED=90°．故答案為：90；

（2）∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∴．∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴=（）2=．∵S△ABD=4，∴S△CBE=；

（3）∵M是AB的中點，∴BM=AB=2．如圖③，過點B作BF⊥AC，F為垂足．∵△ABC為銳角三角形，∴點F在線段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×sin45°=，以B為圓心，BF為半徑畫圓交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值為MG=BG﹣BM=﹣2，以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于H，BP'有最大值BH．此時MP'的最大值為BM+BH=2+5=7，∴線段MP'的最大值為7，最小值為﹣2．