Question

【題目】Rt△OBC在直角坐標系內的位置如圖所示，點C在y軸上，∠OCB＝90°，反比例函數y＝(k＞0)在第一象限內的圖象與OB邊交于點D(m，3)，與BC邊交于點E(n，6)．

(1)求m與n的數量關系；

(2)連接CD，若△BCD的面積為12，求反比例函數的解析式和直線OB的解析式；

(3)設點P是線段OB邊上的點，在(2)的條件下，是否存在點P，使得以B、C、P為項點的三角形與△BDE相似？若存在，求出此時點P戶的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝2n；（2）直線OB的解析式，反比例函數的解析式；（3）點P的坐標為（4，2）；

【解析】

（1）根據點在反比例函數圖像上得到方程，即可得到結論；

（2）如圖，過點D作DF⊥BC于點F，可得DF=3，根據三角形的面積公式可得BC=8，即可得到結論；

（3）如圖，作PG⊥BC于G，①當△BED∽△BCP時，②當△BED∽△BPC時，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

（1）∵點D(m，3)與E(n，6)在y＝(k＞0)上

∴

∴m與n的數量關系為m＝2n；

（2）如圖，過點D作DF⊥BC于點F，可得DF=3，

∴

解得BC=12，

∴B點坐標（12,6）

∴直線OB的解析式；

∵點D(m，3)在OB邊上

∴D點坐標(6，3)

∴反比例函數的解析式；

（3）如圖，作PG⊥BC于G，由（2）得E點坐標（3,6）

①當△BED∽△BCP時，∠BED＝∠BCP，＝，

∴DF⊥BC，PG⊥BC，

∴DF∥PG，

∴△BDF∽△BPG，

∴＝，

∴＝，即，

∴PG＝4，

∴P（4，2）；

②當△BED∽△BPC時，＝，

∴，

∴BP＝，

∵＝，即．

∴PG＝7.2，此時P不在線段OB上，

綜上所述，點P的坐標為（4，2）．