Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，AC是半圓內一條弦，點D是的中點，DB交AC于點G，過點A作半圓的切線與BD的延長線交于點M，連接AD．點E是AB上的一動點，DE與AC相交于點F．

（1）求證：MD＝GD；

（2）填空：①當∠DEA＝　 　時，AF＝FG；

②若∠ABD＝30°，當∠DEA＝　 　時，四邊形DEBC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①90°；②60°

【解析】

（1）由圓周角定理和切線的性質可得∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，再結合三角形外角的性質可得∠M＝∠AGD，可證AG＝AM，由等腰三角形三線合一可得結論；

（2）①由直角三角形的性質可得AF＝FG＝DF，由等腰三角形的性質和余角的性質可求∠DEA＝90°；

②由菱形的性質可得∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，即可求解．

證明：（1）如圖，連接BC．

∵D是的中點，

∴∠DAC＝∠ABD，

∵MA是半圓O的切線，

∴MA⊥AB，

∵AB是半圓O的直徑，

∴AD⊥DB，

∴∠ADM＝90°，

∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，

∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，

∴AG＝AM，

∵AD⊥MG，

∴MD＝GD；

（2）①若AF＝FG，

∵∠ADG＝90°，

∴AF＝FG＝DF，

∴∠DAF＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠ABD，

∵∠ADF+∠EDB＝90°，

∴∠ABD+∠EDB＝90°，

∴∠DEA＝90°，

故答案為：90°；

②若四邊形DEBC是菱形，

∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，

∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，

故答案為：60°．